关于[河图洛书的数学奥秘（一）]的字幕:

·  今天讲河图洛书的数学奥秘上河图洛书探秘之河图洛书的数学奥秘（一）

·  古希腊毕达哥拉斯学派的思想家菲洛劳斯有一段著名的话，“庞大、万能和完美无缺，是数字的力量所在。它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱的和黑暗的。”——菲洛劳斯

·  他说：“庞大、万能和完美无缺，是数字的力量所在。它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱的和黑暗的。”我非常喜欢这段话，因为这段话，它指出了数学的神奇与奥妙。人类有了数字的概念，这是人类最初从动物界分离出来，而成为人的重要标志之一。有了这一步，

·  人类才意识到自己的聪明和智慧，并且为进一步开发智慧奠定了基础。中国古代的科学技术在数学方面有辉煌的成就，其中在河图洛书问题上的表现，是最早的也是最重要的成果之一。

·  首先谈第一个问题，河图洛书的数字构成原理。

·  河图洛书的表现形式是数字关系，它们必然反映着我国古代的数学水平。其中河图与洛书的数字构成原理，本身就是一个非常奇妙的问题。

·  首先谈第一点，河图的数字构成原理。河图的数字排列状态，南宋朱熹《易学启蒙》中的一与六共宗而居乎北，二与七为朋而居乎南，三与八同道而居乎东，四与九为友而居乎西，五与十相守而居乎中。 ——南宋·朱熹《易学启蒙》（图1朱熹）

·  表述是“一与六共宗而居乎北，二与七为朋而居乎南，三与八同道而居乎东，四与九为友而居乎西，五与十相守而居乎中。”这个就是这样的意思，这是这个河图图，河图这个图。个用数字来表示位置关系，就是把它写成数字就是这样子。这就是朱熹所说的

·  “一与六共宗而居乎北，二与七为朋而居乎南，”这是上是南方，“三与八同道而居乎东，四与九为友而居乎西，五与十相守而居乎中。”这就是河图的数字状态排列。

·  河图这样的状态是怎样生成的呢？就是说它的排列过程，所依据的是什么规则呢？这个问题，清代李光地《周易折中》卷二十一“启蒙附论”部分，把这一排列过程表述为“阳动阴静”与“阴静阳动”——清·李光地 《周易折中》“阳动阴静”与“阴静阳动”的法则。

·  意思是说，一到十这十个自然数当中奇数为阳 偶数为阴一到十这十个自然数当中，奇数为阳，偶数为阴，河图与洛书都是由奇数与偶数进行有规律的变化而形成的。那先看那个李光地所说的阳动阴静“阳动阴静”，就是这样一个意思，李光地认为这个河图的图这个数字排列构成

·  它就是十个数字，五和十居中央，然后四个方向，从一开始从上，从上面开始排，一方两个数，从外向内。然后按顺时针，就是往右转，一二从外向内，然后三四从外向内，六七从外向内，八九从外向内。

·  这八个数这样分布，分布于四方。所以阳动阴静，就是这样排好之后，一和七是阳数，阳动，就是单数动一和七交换位置，这个一本来在上面挪到下面，七本来是下面移到上面。左右三和九动，

·  交换位置。这个三和九这样交换一下，这样交换的结果，下边是一六居乎北，二七居乎南，三八居乎东，四九居乎西。这就是成了河图的数字排列了。所谓“阳动阴静”就这个意思。就是单数动双数不动。“阳静阴动”“阳静阴动”，正好和这相反。

·  排列的方法，是从下往起排，从下方开始排，是从内到外排。就是一二，这是三四，六七、八九。这个起点不一样，从下方开始也是顺时针排，这个排法。排好之后，阳静阴动就是阳不动了阴动，

·  就是单数不动了双数动。双数动，二和六这么交换位置，对交换位置。这个四和八交换位置，这一交换之后，二和六交换位置，四和八交换位置。交换了之后，就成了河图的数字排列了。一六在下，二七在上，三八在左，四九在右。这就是李光地所总结的

·  “阳动阴静”和“阳静阴动”的这么一个规则。这就指出了河图的数字生成过程。下面看第二个问题，二 洛书的数字构成原理洛书的数字构成原理。这个首先看洛书的数字排列状态。“二九四，七五三，六一八”——《大戴礼记》

·  《大戴礼记》的表述是“二九四，七五三，六一八”东汉徐岳他有一本数学著作叫《数术记遗》，论述了九宫的原理和特点。南北朝时期北周有一位甄鸾，叫甄鸾的为徐岳的《数术记遗》作注释，

·  他解释徐岳所认为的九宫的原理。他这样描述：“九宫者，“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”—— 甄鸾即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”这个就是这样的图。这个洛书的数字排列就是二、九、四，七、五、三，六、一、八。

·  “二四为肩”就是二和四像一个人两个肩膀的位置。“六八为足”足就是脚，就是像两个人的脚的位置。“左三右七，戴九履一”，戴就是戴帽子，戴头上。履就是穿的鞋，在下面。他这是描述洛书数字排列的状态，有这样的几句话，

·  很容易记忆，也非常形象，一下子就记住了。这个洛书这样的九个数字这样排列，排列成这样一个状态，每一横行，每一竖列，两条对角线，三个数字之和都等于十五。 （ 图10）它每一横行，每一竖列和两条对角线，每一组三个数字之和都等于十五。所以这样的图形，可以说是非常奇妙的。这样的方阵，数字方阵，

·  纵与横每一行、每一列加上对角线，每一组数字之和都相等，这种数学现象就叫做“幻方”。幻方现在国际数学界早已公认，中国古代的洛书，是世界上最早出现的幻方。中国古代的洛书，是世界上最早出现的幻方。这是最简单的3阶幻方，3阶幻方

·  洛书所表示的这样的3阶幻方，是怎样生成的呢？这就说洛书的数字排列它的过程是怎样形成的呢？南宋时期，我国有一位著名的数学家叫杨辉，杨辉 南宋数学家杨辉在中国数学史上是非常重要的一个人物。他对幻方的研究，取得了重要进展。

·  在他所著的《续古摘奇算法》这本书中，讨论了河图和洛书的数学问题。其中对于洛书所表示的3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律。杨辉的表述是：九子斜排 上下对易左右相更 四维挺出——南宋·杨辉《续古摘奇算法》“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”

·  这么四句话，我们看这个图。所谓“九子斜排”就是从一到九这九个数，从左上到右下斜着排下来，

·  就是一二三、四五六、七八九这叫“九子斜排”。然后“上下对易”就是一和九对调位置，对调位置，这个“左右相更”左右两个数“更”，“更”也是易就是也对调位置，就是七和三对调位置，对调位置，然后“四维挺出”，

·  四维就是四个角上这四个数。“挺出”往四个方向挺出去，挺一下。所以这就是这四句话的意思，这不一“挺出”之后就成了这个洛书的数字排列。二、九、四、七、五、三、六、一、八。所以杨辉所总结的

·  洛书的数字生成过程非常奇妙，在古代的一些著作当中，都对他这种概括给予称赞，非常简捷而且非常容易记住。到了清代，李光地的《周易折中》这本书当中，就刚才提到的这本书当中，他也把杨辉所概括的

·  这种排列方法也用“阳动阴静”和“阴静阳动”这样的词来表述，和李光地表述河图的生成那个过程是一样的，也用这样的一个词语来表述。杨辉所说的“上下对易、左右相更”表述为“阳动阴静”，因为上下左右这四个数

·  都是单数，就都是阳数。“对易”和“相更”就是互相对调位置，是动。二四六八这四个数不动，这叫静。他把杨辉这样的表述方法概括为就是“阳动阴静”，这样的一个规则。在这个动静过程完成之后

·  然后再“四维挺出”，就成了洛书的这种排列。但是同时，李光地还有一个提法，他就是在排列方法上面和杨辉的说法又有变化，略有变化，他这样排列，从下方排，

·  从下往左上方这样排，正好和刚才那种排法相反。一二三、四五六、七八九，这样反着排，排列好之后，就是李光地所说的“阳静阴动”，四个单数不动，

·  四个双数互相交换位置，就是这样交换位置。八和二交换，四和六交换。这样交换之后，然后再“四维挺出”，往四个方向挺出一些，就成了二、九、四、七、五、三、六、一、八。所以这是这个，李光地他总结的，

·  他总结的方法。所用的词语“阳动阴静”或者“阳静阴动”和刚才他总结的河图的数字排列过程，基本上是一致的，只不过是由于河图和洛书它数字不同所以它在形成的过程上略有差别。

·  所以从刚才所谈到的河图和洛书的数字构成原理来看，这样的一种构成是非常奇妙的，就是无论是从这个状态的这个形式，还是这个生成这个过程的这种情况，都是非常奇妙的，非常有趣的。

·  下面谈第二个问题，用洛书原理构造所有的奇数阶幻方用洛书原理构造所有的奇数阶幻方。这也是我在讲这一讲当中我认为是重点的问题。如前所述，洛书是世界上最早出现的一种3阶幻方洛书是世界上最早出现的一种3阶幻方。这是中国古代文明的骄傲，

·  并且已经得到了全世界的公认。当代西方数学家赖塞在1962年出版的一种权威性的数学著作，开头就写道：“中国的大禹，在公元前2200年在一只神龟的背上看到了如下幻方，他用阿拉伯数字表述那就是294，753，618”

·  可见这个西方的著名数学家他谈到这个问题时候，都承认中国古代这个洛书的出现是最早的幻方。根据有关资料记载，中国之外最早研究幻方的学者塔比伊本库拉（约826—901）阿拉伯数学家 天文学家 物理学家医学家 哲学家是阿拉伯的塔比·伊本，他生活于公元9世纪，就相当于中国的唐代后期。

·  后来到了15世纪，就是相当于中国的明代中期，印度有一个人叫穆晓普鲁斯，他才把这个幻方的知识介绍到欧洲。可见欧洲人了解幻方这种形式，是比中国要晚得太多了。幻方在当代数学中称为组合数学，

·  是数论的一个分支，是研究“安排”的一门学科。幻方在数学领域属于数论的组合学部分。其定义可以这样表述：幻方：在n×n的方阵中，放入从1到n2个数，在一定的布局下，其各行、各列及两条对角线上的每一组数字之和都相等。这个和数叫“幻方常数”或者称“幻和”。所谓幻方就是在n×n的方阵中，放入从1到n2个数，

·  在一定的布局下，其各行、各列及两条对角线上的每一组数字之和都相等。这个和数叫“幻方常数”或者称“幻和”。洛书所表示的3阶幻方，其幻方常数等于15。当代对幻方的研究

·  已经达到了非常高的水平，有很多专著，很多这方面专著。最新的结论是，阶数大于2的幻方都是可以做出来的。就是任意数，不管这个数多大，如果排成这个n×n的方阵，从1到n2这个数把它填满，就都可以构成这样的幻方。

·  当然幻方的排列方法也是非常多的，高阶次幻方，3阶以上幻方种类也是非常多的。据有关书籍介绍4阶幻方的基本形式有八百八十种5阶幻方的基本形式有两亿多种6阶以上的幻方种数数目非常大4阶幻方的基本形式有八百八十种，5阶幻方的基本形式就有两亿多种，6阶以上的幻方种数，数字是非常大的。

·  幻方的研究有许多专门的著作。我们这里要讨论的问题是什么呢？用洛书的基本构图规则可以破解各种高阶次的幻方就是用洛书的基本构图规则，可以破解各种高阶次的幻方。就是我们谈的是与我们的洛书有关的问题。我这里要讲的有两种方法，方法一：用杨辉所概括的洛书的构图规则破解奇数阶幻方。第一种方法

·  就是用杨辉所概括的洛书的构图规则破解奇数阶幻方。因为这个洛书的这种简单的幻方形式是3阶，3是奇数，所以根据洛书的规律，所有的奇数阶幻方都可以利用洛书的构图规则来构成。刚才说的这个洛书的

·  构图基本规则，就是杨辉所概括的那几句话，九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”就是刚才所谈到那种情况。现在如果我们把这样一种规则加以推广，为了解决所有的奇数阶幻方的问题，就是这个规律，洛书所反应的这个规律能不能具有普遍性，

·  能不能适合于其它各种奇数阶幻方呢？我们就来探讨这样的问题。为了探讨这个问题，我们不如把刚才杨辉所概括的那种方法稍加变化。怎样变化呢？我们用阿拉伯数字来表示，“九子斜排”就是1、2、3、4、5、6、7、8、9，

·  然后“上下对易，左右相更”这就是“对易”、“相更”之后，换了位置，杨辉说“四维挺出”就是把这个2、4、6、8这4个数向四个方向“挺出”。我们把这句话加以变化。怎么变化呢？在这个“九子斜排”之后，我们可以看见中间可以形成一个方阵。

·  如果不把它2、4、6、84个数四维挺出。我们把这个方阵之外的四边，边上的4个数推进去，推入，压到里面去，实际上是一样的。把2、4、6、8往四个方向挺出，构成294，753，618。我们把中间去掉方阵之后，把四边边上那个数，

·  往里面推进去，推进去，推到这个两个数之间的空格中间。这样一推进去之后，也同样是294，753，618。为什么要进行这样一个变化呢？这就是为了让这种规律适应3阶以上的所有的情况。

·  我在开始看到这个问题的时候，我感到是非常奇妙的，非常奇妙的。所以我们把刚才这一点稍加变化之后，我们就对杨辉的这个几句话，我们可以做这样的改动。九子斜排，上下对易 ，左右相更，四维挺出。→九子斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。就是“九子斜排，中间取方，

·  上下对易，左右相更，四边嵌入。”这个嵌就是镶嵌的嵌。如果用这样的方法，这样方法如果成立的话，对待3阶以上的幻方，我们把这一句话形成一个口诀，实际上就是一个规律，这样表述叫做“NN斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。”对易嵌入法口诀：NN斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。

·  这就是我所认为的根据洛书的基本原理，这样改建之后，它就成为一种普通的规律，适用于各个阶次的奇数阶幻方，就是各个高阶次的奇数阶幻方。

·  为了说明这个问题，我们首先看比3阶，在高一点的奇数阶就是5阶，这个5阶幻方，怎么用这样几句话来做出来。来做出来，所谓NN斜排就是五五斜排了。因为对3来说它是三三斜排，对这个5阶幻方来（说）

·  就是五五斜排。就是这样一个图形，1、2、3、4、5，一组数是5个，6、7、8、9、10，然后15、20、25，这样排成五行了，排成五行。所谓“中间取方”，就在中间取一个五，边为五的这样一个方阵，

·  从这“中间取方”就这样一个意思。“上下对易，左右相更”，怎么体现呢？就是我们把所取的这个方阵每边之外的这一块，整体的看作一个板块，看作一个板块，所谓“上下对易”，就把这个上下两个板块来交换位置。左手相更也是，把左右这两个

·  每一个方阵以外的这几个数，看成一个板块，交换位置，交换位置之后四边嵌入，就是把这个四个板块，在交换位置之后，嵌到这个里面去。这个我们做一下，就可以看出来这个情况。所谓“上下对易”，

·  就是把上边这个板块拿下来，和下边这个板块拿到上边去对易，嵌入就是这样，整体这个板块，整体推入，这叫嵌入，嵌到这个空里头去。下面一样，整体推入，然后是左右同样，

·  这一交换位置之后，整体推入，这叫“上下对易、左右相更、四边嵌入。”这样做了之后，就形成了一个这么一个方阵，

·  这个方阵就是5阶幻方。这个可以验证一下，它的每一横行，每一竖列，和每一条对角线上的这一组五个数之和都相等，具有幻方的基本性质。好，这一节就讲到这里。